Найти площадь фигуры ограниченной линиями сделать чертеж

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

S ( G ) = ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неотрицательной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] ,

S ( G ) = – ∫ a b f ( x ) d x для непрерывной и неположительной функции y = f ( x ) на отрезке [ a ; b ] .

Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y = f ( x ) или x = g ( y ) .

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Пусть функции y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) определены и непрерывны на отрезке [ a ; b ] , причем f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) для любого значения x из [ a ; b ] . Тогда формула для вычисления площади фигуры G , ограниченной линиями x = a , x = b , y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) будет иметь вид S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) – f 1 ( x ) d x .

Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y = c , y = d , x = g 1 ( y ) и x = g 2 ( y ) : S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) – g 1 ( y ) d y .

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G 1 равна площади фигуры G 2 . Это значит, что

Поэтому, S ( G ) = S ( G 2 ) – S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x – ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x .

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Во втором случае справедливо равенство: S ( G ) = S ( G 2 ) + S ( G 1 ) = ∫ a b f 2 ( x ) d x + – ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Если обе функции неположительные, получаем: S ( G ) = S ( G 2 ) – S ( G 1 ) = – ∫ a b f 2 ( x ) d x – – ∫ a b f 1 ( x ) d x = ∫ a b ( f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

Перейдем к рассмотрению общего случая, когда y = f 1 ( x ) и y = f 2 ( x ) пересекают ось O x .

Точки пересечения мы обозначим как x i , i = 1 , 2 , . . . , n – 1 . Эти точки разбивают отрезок [ a ; b ] на n частей x i – 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n , где α = x 0 x 1 x 2 . . . x n – 1 x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S ( G i ) = ∫ x i – 1 x i ( f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

S ( G ) = ∑ i = 1 n S ( G i ) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 ( x ) – f 1 ( x ) ) d x = = ∫ x 0 x n ( f 2 ( x ) – f ( x ) ) d x = ∫ a b f 2 ( x ) – f 1 ( x ) d x

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

Формулу S ( G ) = ∫ a b f 2 ( x ) – f 1 ( x ) d x можно считать доказанной.

А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y = f ( x ) и x = g ( y ) .

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y = – x 2 + 6 x – 5 и прямыми линиями y = – 1 3 x – 1 2 , x = 1 , x = 4 .

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

На отрезке [ 1 ; 4 ] график параболы y = – x 2 + 6 x – 5 расположен выше прямой y = – 1 3 x – 1 2 . В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

S ( G ) = ∫ 1 4 – x 2 + 6 x – 5 – – 1 3 x – 1 2 d x = = ∫ 1 4 – x 2 + 19 3 x – 9 2 d x = – 1 3 x 3 + 19 6 x 2 – 9 2 x 1 4 = = – 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 – 9 2 · 4 – – 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 – 9 2 · 1 = = – 64 3 + 152 3 – 18 + 1 3 – 19 6 + 9 2 = 13

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Решение

В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x = 7 . Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y = x и полу параболы y = x + 2 . Для нахождения абсциссы используем равенства:

y = x + 2 О Д З : x ≥ – 2 x 2 = x + 2 2 x 2 – x – 2 = 0 D = ( – 1 ) 2 – 4 · 1 · ( – 2 ) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ О Д З x 2 = 1 – 9 2 = – 1 ∉ О Д З

Получается, что абсциссой точки пересечения является x = 2 .

Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y = x + 2 , y = x пересекаются в точке ( 2 ; 2 ) , поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

На интервале [ 2 ; 7 ] график функции y = x расположен выше графика функции y = x + 2 . Применим формулу для вычисления площади:

S ( G ) = ∫ 2 7 ( x – x + 2 ) d x = x 2 2 – 2 3 · ( x + 2 ) 3 2 2 7 = = 7 2 2 – 2 3 · ( 7 + 2 ) 3 2 – 2 2 2 – 2 3 · 2 + 2 3 2 = = 49 2 – 18 – 2 + 16 3 = 59 6

Ответ: S ( G ) = 59 6

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y = 1 x и y = – x 2 + 4 x – 2 .

Решение

Нанесем линии на график.

Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1 x и – x 2 + 4 x – 2 . При условии, что x не равно нулю, равенство 1 x = – x 2 + 4 x – 2 становится эквивалентным уравнению третьей степени – x 3 + 4 x 2 – 2 x – 1 = 0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

Корнем этого уравнения является х = 1 : – 1 3 + 4 · 1 2 – 2 · 1 – 1 = 0 .

Разделив выражение – x 3 + 4 x 2 – 2 x – 1 на двучлен x – 1 , получаем: – x 3 + 4 x 2 – 2 x – 1 ⇔ – ( x – 1 ) ( x 2 – 3 x – 1 ) = 0

Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x 2 – 3 x – 1 = 0 :

x 2 – 3 x – 1 = 0 D = ( – 3 ) 2 – 4 · 1 · ( – 1 ) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3 ; x 2 = 3 – 13 2 ≈ – 0 . 3

Мы нашли интервал x ∈ 1 ; 3 + 13 2 , на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

S ( G ) = ∫ 1 3 + 13 2 – x 2 + 4 x – 2 – 1 x d x = – x 3 3 + 2 x 2 – 2 x – ln x 1 3 + 13 2 = = – 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 – 2 · 3 + 13 2 – ln 3 + 13 2 – – – 1 3 3 + 2 · 1 2 – 2 · 1 – ln 1 = 7 + 13 3 – ln 3 + 13 2

Ответ: S ( G ) = 7 + 13 3 – ln 3 + 13 2

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y = x 3 , y = – log 2 x + 1 и осью абсцисс.

Решение

Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y = – log 2 x + 1 из графика y = log 2 x , если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у = 0 .

Обозначим точки пересечения линий.

Как видно из рисунка, графики функций y = x 3 и y = 0 пересекаются в точке ( 0 ; 0 ) . Так получается потому, что х = 0 является единственным действительным корнем уравнения x 3 = 0 .

x = 2 является единственным корнем уравнения – log 2 x + 1 = 0 , поэтому графики функций y = – log 2 x + 1 и y = 0 пересекаются в точке ( 2 ; 0 ) .

x = 1 является единственным корнем уравнения x 3 = – log 2 x + 1 . В связи с этим графики функций y = x 3 и y = – log 2 x + 1 пересекаются в точке ( 1 ; 1 ) . Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x 3 = – log 2 x + 1 не может иметь более одного корня, так как функция y = x 3 является строго возрастающей, а функция y = – log 2 x + 1 строго убывающей.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x ∈ 0 ; 1 , а вторая ниже красной линии на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это значит, что площадь будет равна S ( G ) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 ( – log 2 x + 1 ) d x .

Вариант №2

Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x ∈ 0 ; 2 , а вторая между красной и синей линиями на отрезке x ∈ 1 ; 2 . Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

S ( G ) = ∫ 0 2 x 3 d x – ∫ 1 2 x 3 – ( – log 2 x + 1 ) d x

В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S ( G ) = ∫ c d ( g 2 ( y ) – g 1 ( y ) ) d y . Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y .

Разрешим уравнения y = x 3 и – log 2 x + 1 относительно x :

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = – log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 – y ⇒ x = 2 1 – y

Получим искомую площадь:

S ( G ) = ∫ 0 1 ( 2 1 – y – y 3 ) d y = – 2 1 – y ln 2 – y 4 4 0 1 = = – 2 1 – 1 ln 2 – 1 4 4 – – 2 1 – 0 ln 2 – 0 4 4 = – 1 ln 2 – 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 – 1 4

Ответ: S ( G ) = 1 ln 2 – 1 4

Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y = x , y = 2 3 x – 3 , y = – 1 2 x + 4 .

Решение

Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y = x . Синим цветом нанесем линию y = – 1 2 x + 4 , черным цветом обозначим линию y = 2 3 x – 3 .

Отметим точки пересечения.

Найдем точки пересечения графиков функций y = x и y = – 1 2 x + 4 :

x = – 1 2 x + 4 О Д З : x ≥ 0 x = – 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 – 4 x + 16 ⇔ x 2 – 20 x + 64 = 0 D = ( – 20 ) 2 – 4 · 1 · 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 – 144 2 = 4 П р о в е р к а : x 1 = 16 = 4 , – 1 2 x 1 + 4 = – 1 2 · 16 + 4 = – 4 ⇒ x 1 = 16 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я x 2 = 4 = 2 , – 1 2 x 2 + 4 = – 1 2 · 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н и н и я ⇒ ( 4 ; 2 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = x и y = – 1 2 x + 4

Найдем точку пересечения графиков функций y = x и y = 2 3 x – 3 :

x = 2 3 x – 3 О Д З : x ≥ 0 x = 2 3 x – 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 – 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 – 45 x + 81 = 0 D = ( – 45 ) 2 – 4 · 4 · 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9 , x 2 45 – 729 8 = 9 4 П р о в е р к а : x 1 = 9 = 3 , 2 3 x 1 – 3 = 2 3 · 9 – 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ⇒ ( 9 ; 3 ) т о ч к а п е р е с е ч а н и я y = x и y = 2 3 x – 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 – 3 = 2 3 · 9 4 – 3 = – 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 н е я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я

Найдем точку пересечения линий y = – 1 2 x + 4 и y = 2 3 x – 3 :

– 1 2 x + 4 = 2 3 x – 3 ⇔ – 3 x + 24 = 4 x – 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 – 1 2 · 6 + 4 = 2 3 · 6 – 3 = 1 ⇒ ( 6 ; 1 ) т о ч к а п е р е с е ч е н и я y = – 1 2 x + 4 и y = 2 3 x – 3

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

Тогда площадь фигуры равна:

S ( G ) = ∫ 4 6 x – – 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x – 2 3 x – 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 – 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 – x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 – 4 · 6 – 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 – 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 – 9 2 3 + 3 · 9 – 2 3 · 6 3 2 – 6 2 3 + 3 · 6 = = – 25 3 + 4 6 + – 4 6 + 12 = 11 3

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

Тогда решим уравнение линии относительно x , а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

y = x ⇒ x = y 2 к р а с н а я л и н и я y = 2 3 x – 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 ч е р н а я л и н и я y = – 1 2 x + 4 ⇒ x = – 2 y + 8 с и н я я л и н и я

Таким образом, площадь равна:

S ( G ) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 – – 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 – y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y – 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 – y 2 d y = = 7 4 y 2 – 7 4 y 1 2 + – y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 · 2 2 – 7 4 · 2 – 7 4 · 1 2 – 7 4 · 1 + + – 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 – – 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

Приложение интеграла к решению прикладных задач

Вычисление площади

Определённый интеграл непрерывной неотрицательной функции f(x) численно равенплощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью О_х и прямыми х = а и х = b. В соответствии с этим формула площади записывается так:

Рассмотрим некоторые примеры на вычисление площадей плоских фигур.

Задача № 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Решение. Построим фигуру, площадь которой мы должны будем вычислить.

y = x 2 + 1 – это парабола ветви которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O_y вверх на одну единицу (рисунок 1).

Рисунок 1. График функции y = x 2 + 1

Задача № 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x 2 – 1, y = 0 в пределах от 0 до 1.

Решение. Графиком данной функции является парабола ветви, которой направлены вверх, и парабола смещена относительно оси O_y вниз на одну единицу (рисунок 2).

Рисунок 2. График функции y = x 2 – 1

Задача № 3. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4.

Решение. Первая из двух данных линий – парабола, направленная ветвями вниз, поскольку коэффициент при x 2 отрицательный, а вторая линия – прямая, пересекающая обе оси координат.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса вершины; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – ее ордината, N(1;9) – вершина.

Теперь найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

Приравнивая правые части уравнения, левые части которых равны.

Получим 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 или x 2 – 12 = 0, откуда .

Итак, точки – точки пересечения параболы и прямой (рисунок 1).

Рисунок 3 Графики функций y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Построим прямую y = 2x – 4. Она проходит через точки (0;-4),(2;0) на осях координат.

Для построения параболы можно еще ее точки пересечения с осью 0x, то есть корни уравнения 8 + 2x – x 2 = 0 или x 2 – 2x – 8 = 0. По теореме Виета легко найти его корни: x₁ = 2, x₂ = 4.

На рисунке 3 изображена фигура (параболический сегмент M₁N M₂), ограниченный данными линиями.

Вторая часть задачи состоит в нахождении площади этой фигуры. Ее площадь можно найти с помощью определенного интеграла по формуле .

Применительно к данному условию, получим интеграл:

2 Вычисление объёма тела вращения

Объём тела, полученного от вращения кривой y = f(x) вокруг оси О_х, вычисляется по формуле:

При вращении вокруг оси О_y формула имеет вид:

Задача №4. Определить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = 0 х = 3 и кривой y = вокруг оси О_х.

Решение. Построим рисунок (рисунок 4).

Рисунок 4. График функции y =

Искомый объём равен

Задача №5. Вычислить объём тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = x 2 и прямыми y = 0 и y = 4 вокруг оси O_y.

Вопросы для повторения

1 Что называется интегрированием функции?

2 Основные свойства неопределённого интеграла.

3 В чём состоит геометрический смысл неопределённого интеграла.

4 Основные формулы интегрирования.

5 Способ подставки и способ интегрирования по частям.

6 Определённый интеграл.

7 Свойства определённого интеграла

8 Формула Ньютона – Лейбница.

9 Геометрический смысл определённого интеграла.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

Контрольная работа №2

Введение в математический анализ.

Производная и ее приложения.

Вариант 6

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

6.3.16. Задана функция y=f(x). Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать схематический чертеж.

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0], (0, ],( ;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках при х=0 и х= . Найдём односторонние пределы.

При х=0 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х= различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то при х= – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный -2-0= -2.

График этой функции:

7.1.6. Найдите производные данных функций.

А)

б)

в)

При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости будет иметь наименьшую полную поверхность?

Пусть R –радиус основания цилиндра, H- высота.

7.3.26. Методами дифференциального исчисления:

а) исследовать функцию и по результатам исследования построить ее график;

б) найти наименьшее и наибольшее значения заданной функции на отрезке [0,1].

2. .Функция не является ни чётной, ни нечетной.

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью Оу: x = 0, то у=-е;

с осью Ох: y = 0, то х=1.

4. Определим критические точки. Для этого найдем производную y’.

Тогда y’ = 0 имеет решение х =2/3 –абсцисса точки экстремума. Данная точка не входит в область. Определим знак первой производной на интервалах.

y'(x)

2/3

Значит, на промежутке (2/3,+¥) функция возрастает, на промежутке (-¥,2/3)– убывает. Значит, при х=2/3 –минимум, у(2/3)=6,7.

5. Определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную y” функции:

тогда y” = 0 имеет решение при х=1/3. Это абсцисса точки перегиба.

Определим знак второй производной на области определения.

Таким образом, при x Î(1/3, +¥) график функции вогнутый, x Î(-¥,1/3) график функции выпуклый.

6. Функция определена и непрерывна на всей области определения. Выясним, имеет ли график функции наклонную асимптоту у=кх+в.

Наклонных асимптот нет.

По результатам исследования строим график функции:

б) Функция непрерывна на отрезке [0;1]. Найдём производную

В данном случае критической являются точка при х=2/3, причём точка принадлежит отрезку [0;1]. Вычислим значение на концах отрезка и в критической точке:

Таким образом, наименьшее значение данной функции равно -6,7 и получаем его при х=2/3 в критической точке, наибольшее равное 0 получаем при х=1 на правой границе.

Контрольная работа №3

Неопределенный и определенный интегралы. Функции нескольких переменных. Кратные интегралы.

Вариант 10

8.1.10. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

б)

;

Проверим результат дифференцированием:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.

Найдем точки пересечения из решения системы уравнений:

9.1.16 Найти производные функции двух переменных , если .

и

,

, , ,

9.1.56 Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле для двойного интеграла , и изменить порядок интегрирования. .

Источники:

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/integraly-integrirovanie/nahozhdenie-ploschadi-figury-ogranichennoj-linijam/

http://helpiks.org/9-41041.html

http://poisk-ru.ru/s1368t4.html